Question

9．已知點P是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1，（a＞0，b＞0）右支上一點，F₁、F₂分別是雙曲線的左、右焦點，I為△PF₁F₂的內心，且有S${\;}_{△IP{F_1}}}$-S${\;}_{△IP{F_2}}}$=$\frac{1}{2}$S${\;}_{△I{F_1}{F_2}}}$，則該雙曲線的離心率為2．

Answer 1

分析 設圓I與△PF₁F₂的三邊F₁F₂、PF₁、PF₂分別相切于點E、F、G，連接IE、IF、IG，可得△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂可看作三個高相等且均為圓I半徑r的三角形．利用三角形面積公式，代入已知式S${\;}_{△IP{F_1}}}$-S${\;}_{△IP{F_2}}}$=$\frac{1}{2}$S${\;}_{△I{F_1}{F_2}}}$，化簡可得|PF₁|-|PF₂|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|，再結合雙曲線的定義與離心率的公式，可求出此雙曲線的離心率．

解答 解：如圖，設圓I與△PF₁F₂的三邊F₁F₂、PF₁、PF₂分別相切于點E、F、G，連接IE、IF、IG，
則IE⊥F₁F₂，IF⊥PF₁，IG⊥PF₂，它們分別是
△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂的高，
∴S${\;}_{△IP{F_1}}}$=$\frac{1}{2}$×|PF₁|×|IF|=$\frac{r}{2}$|PF₁|，
S${\;}_{△IP{F_2}}}$=$\frac{1}{2}$×|PF₂|×|IG|=$\frac{r}{2}$|PF₂|
S${\;}_{△I{F_1}{F_2}}}$=$\frac{1}{2}$×|F₁F₂|×|IE|=$\frac{r}{2}$|F₁F₂|，其中r是△PF₁F₂的內切圓的半徑．
∵S${\;}_{△IP{F_1}}}$-S${\;}_{△IP{F_2}}}$=$\frac{1}{2}$S${\;}_{△I{F_1}{F_2}}}$，
∴$\frac{r}{2}$|PF₁|-$\frac{r}{2}$|PF₂|+$\frac{r}{4}$|F₁F₂|
兩邊約去$\frac{r}{2}$得：|PF₁|-|PF₂|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|
根據雙曲線定義，得|PF₁|-|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴2a=c⇒離心率為e=$\frac{c}{a}$=2，
故答案為：2．

點評 本題將三角形的內切圓放入到雙曲線當中，用來求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的基本性質、三角形內切圓的性質和面積計算公式等知識點，屬于中檔題．