Question

7．在等差數列{a_n}中，a₃=k，a₉=12．
（1）當k=6時，求數列{a_n}的前n項和為S_n；
（2）若b_n=n²+6a_n且對于任意n∈N^*，恒有b_n+1＞b_n成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列的通項公式與求和公式即可得出．
（2）利用等差數列的通項公式、二次函數的單調性即可得出．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，可得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d=6\\{a_1}+8d=12\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=4\\ d=1\end{array}\right.$，
則a_n=a₁+（n-1）d=n+3．
∴S_n=$\frac{n（n+7）}{2}$．
（2）由b_n+1＞b_n知該數列是一個遞增數列，又通項公式a_n=$\frac{（12-k）n+9k-36}{6}$’
∴b_n=n²+6 a_n=n²+（12-k）n+9k-36，可以看作是關于n的二次函數，考慮到n∈N^*，
∴$\frac{k-12}{2}$＜$\frac{3}{2}$，即得k＜15．

點評 本題考查了等差數列的通項公式與求和公式、二次函數的單調性、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．