Question

2．若數列{a_n}的前n項和S_n=n²（n∈N^*），則$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{10}{a}_{11}}$=（　�。�

• A． $\frac{8}{17}$
• B． $\frac{9}{19}$
• C． $\frac{10}{21}$
• D． $\frac{11}{23}$

Answer 1

分析 利用數列的前n項和S_n=n²（n∈N^*），求出數列的通項，求出$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），利用“裂項法”即可求得$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{10}{a}_{11}}$．

解答 解：當n=1時，a₁=s₁=1，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
當n=1時，a_n=2n-1，成立
∴a_n=2n-1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{10}{a}_{11}}$，
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{19}$-$\frac{1}{21}$），
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{21}$），
=$\frac{10}{21}$，
故選C．

點評 本題考查等差數列的通項公式，“裂項法”求數列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．