Question

10．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+2，x＞a}\\{{x}^{2}+5x+2，x≤a}\end{array}\right.$，函數g（x）=f（x）-2x恰有三個不同的零點，則z=2^a的取值范圍是（　　）

• A． [${\frac{1}{2}$，2）
• B． [1，4]
• C． [${\frac{1}{4}$，4）
• D． [${\frac{1}{2}$，4）

Answer 1

分析 由已知寫出分段函數g（x），求出兩段函數的零點，由每一段函數的零點在其定義域內列不等式組求得a的范圍，進一步得到z=2^a的取值范圍．

解答 解：由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+2，x＞a}\\{{x}^{2}+5x+2，x≤a}\end{array}\right.$，得
g（x）=f（x）-2x=$\left\{\begin{array}{l}{-x+2，x＞a}\\{{x}^{2}+3x+2，x≤a}\end{array}\right.$，
而方程-x+2=0的解為2，方程x²+3x+2=0的解為-1或-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＜2\\-1≤a\\-2≤a\end{array}\right.$，解得-1≤a≤2，
∴z=2^a的取值范圍是$[{\frac{1}{2}，4}）$．
故選：D．

點評 本題考查函數零點判定定理，考查分段函數的應用，是中檔題．