Question

20．已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0），記f^[2]（x）=f（f（x）），例：f（x）=x²+1，
則f^[2]（x）=（f（x））²+1=（x²+1）²+1；
（1）f（x）=x²-x，解關于x的方程f^[2]（x）=x；
（2）記△=（b-1）²-4ac，若f^[2]（x）=x有四個不相等的實數根，求△的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據新類型的定義，求解f^[2]（x），再解方程即可．
（2）換元思想，根據新類型的定義：f（f（x））=x，令f（x）-x=t，則f（x）-t=x，f（x）=t+x，則有：f（t+x）=f（x）-t．帶入二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0），求出t，t又是二次函數的值，即ax²+bx+c=t
函數必有兩個根，△＞0．化簡可得（b-1）²-4ac的取值范圍．

解答 解：（1）由題意：當f（x）=x²-x時，則：f^[2]（x）=（x²-x）²-（x²-x）=x⁴-2x³+x；
那么：f^[2]（x）=x；即：x⁴-2x³+x=x；
解得：x=0或x=2．
（2）根據新類型的定義：f（f（x））=x，令f（x）-x=t，
則f（x）-t=x，f（x）=t+x，
則有：f（t+x）=f（x）-t．即a（t+x）²+b（t+x）+c=ax²+bx+c-t，
化簡可得：at²+（2ax+b+1）t=0，
解得：t=0或t=$-\frac{2ax+b+1}{a}$．
當t=0時，即ax²+bx+c=x，有兩個不相同的實數根，可得（b-1）²-4ac＞0．
當t=$-\frac{2ax+b+1}{a}$時，ax²+bx+c=x$+\frac{2ax+b+1}{a}$，整理可得：$a{x}^{2}+（b+1）x+c+\frac{b+1}{a}=0$，
∴△=$（b+1）^{2}-4a（c+\frac{b+1}{a}）$=（b+1）²-4ac+4（b+1）=（b-1）²-4ac-4
∵有兩個不相同的實數根△＞0．
∴（b-1）²-4ac-4＞0，即（b-1）²-4ac＞4．
綜上所得△=（b-1）²-4ac的取值范圍是（4，+∞）．

點評 本題考查了新定義的應用和理解，計算能力！反函數的利用和構造思想．換元的代換是解決此題的關鍵．屬于難題．