Question

15．已知函數f（x）=ax+$\frac{b}{x}$的圖象經過點A（1，1），B（2，-1）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）判斷函數f（x）在（0，+∞）上的單調性并用定義證明；
（3）求f（x）在區間[$\frac{1}{4}$，1]上的值域．

Answer 1

分析 （1）將點A、B的坐標代入解析式列出方程，求出a、b的值，即可求出f（x）；
（2）利用定義法證明函數單調性步驟：取值、作差、變形、定號、下結論進行證明；
（3）由（2）判斷f（x）在[$\frac{1}{4}$，1]上的單調性，由單調性求出最值，即可得到f（x）的值域．

解答 解：（1）∵f（x）的圖象過A（1，1）、B（2，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{2a+\frac{b}{2}=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴$f（x）=-x+\frac{2}{x}$  …（4分）
（2）證明：設任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（-x₁+$\frac{2}{{x}_{1}}$）-（-x₂+$\frac{2}{{x}_{2}}$）
=（x₂-x₁）+$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}+2）}{{x}_{1}{x}_{2}}$
由x₁，x₂∈（0，+∞）得，x₁x₂＞0，x₁x₂+2＞0．
由x₁＜x₂得，x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數$f（x）=-x+\frac{2}{x}$在（0，+∞）上為減函數．            …（10分）
（3）由（2）知，函數$f（x）=-x+\frac{2}{x}$在[$\frac{1}{4}$，1]上為減函數，
∴f（x）_min=f（1）=1，$f{（x）}_{max}=f（\frac{1}{4}）=-\frac{1}{4}+8=\frac{31}{4}$，
∴f（x）的值域是$[1，\frac{31}{4}]$．（12）

點評 本題考查了定義法證明函數的單調性，待定系數法求函數的解析式，利用函數的單調性求函數的值域，考查方程思想，化簡、變形能力．