Question

10．設f（x）是[0，1]上的不減函數，即對于0≤x₁≤x₂≤1有f（x₁）≤f（x₂），且滿足（1）f（0）=0；（2）f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x）；（3）f（1-x）=1-f（x），則f（$\frac{1}{2016}$）=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{64}$
• C． $\frac{1}{128}$
• D． $\frac{1}{256}$

Answer 1

分析 根據條件關系f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x），f（1-x）=1-f（x），依次進行遞推，得到當$\frac{1}{2187}$≤x≤$\frac{2}{2187}$時，f（x）=$\frac{1}{128}$，即可得到結論．

解答 解：∵（1）f（0）=0；（2）f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x）；（3）f（1-x）=1-f（x），
∴f（1）=1-f（0）=1，
f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{2}$，f（1-$\frac{1}{3}$）=1-f（$\frac{1}{3}$）．即f（$\frac{2}{3}$）=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
f（$\frac{1}{9}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，f（$\frac{2}{9}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$
f（$\frac{1}{27}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{9}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{8}$，f（$\frac{2}{27}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{2}{9}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{8}$，
f（$\frac{1}{81}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{27}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{8}$=$\frac{1}{16}$，f（$\frac{2}{81}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{2}{27}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{8}$=$\frac{1}{16}$，
f（$\frac{1}{243}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{81}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{16}$=$\frac{1}{32}$，f（$\frac{2}{243}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{2}{81}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{16}$=$\frac{1}{32}$，
f（$\frac{1}{729}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{243}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{32}$=$\frac{1}{64}$，f（$\frac{2}{729}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{2}{243}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{32}$=$\frac{1}{64}$，
f（$\frac{1}{2187}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{729}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{64}$=$\frac{1}{128}$，f（$\frac{2}{2187}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{2}{729}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{64}$=$\frac{1}{128}$，
∵對于0≤x₁≤x₂≤1有f（x₁）≤f（x₂），
∴當$\frac{1}{2187}$≤x≤$\frac{2}{2187}$時，f（x）=$\frac{1}{128}$，
∵$\frac{1}{2016}$∈[$\frac{1}{2187}$，$\frac{2}{2187}$]時，∴f（$\frac{1}{2016}$）=$\frac{1}{128}$，
故選：C．

點評 本題考查了抽象函數的應用，賦值計算給定的函數值，注意觀察轉化．考查學生的計算和推理能力，綜合性較強有一定的難度．