Question

8．若函數f（x）是定義在R上的偶函數，在（-∞，0]上是增函數，且f（3）=0，則使得f（x+1）＞0的x的取值范圍是（　　）

• A． （-2，4）
• B． （-3，3）
• C． （-4，2）
• D． （-∞，-3）∪（3，+∞）

Answer 1

分析 由偶函數在關于原點對稱的區間上單調性相反，以及偶函數的定義，結合條件將不等式進行等價轉化，再求出實數x的取值范圍．

解答 解：∵函數y=f（x）是R上的偶函數，且在（-∞，0]上是增函數，
∴函數y=f（x）在[0，+∞上是減函數，
∵f（3）=0，∴f（x+1）＞0=f（3），
由偶函數將f（x+1）＞f（3）等價于f（|x+1|）＞f（3），
∴|x+1|＜3，解得-4＜x＜2，
即不等式的解集是（-4，2），
故選：C．

點評 本題考查了偶函數的定義，以及在關于原點對稱的區間上單調性的關系，考查轉化思想，屬于基礎題．