Question

11．二次函數f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當x∈[-1，1]時，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求實數m的取值范圍．
（3）設函數f（x）在區間[a，a+1]上的最小值為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

分析 （1）設f（x）=ax²+bx+c，求出f（x+1），利用已知條件列出方程組，求解即可．
（2）通過f（x）＞2x+m轉化為m＜x²-3x+1，令g（x）=x²-3x+1，x∈[-1，1]，求出g（x）_min，然后求解即可．
（3）當$a≤-\frac{1}{2}$時$，-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}$時，當$a≥\frac{1}{2}$時，分別求解f（x）的最小值即可．

解答 解：（1）設f（x）=ax²+bx+c，則f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c．
從而，f（x+1）-f（x）=[a（x+1）²+b（x+1）+c]-（ax²+bx+c）=2ax+a+b，
又f（x+1）-f（x）=2x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
又f（0）=c=1，∴f（x）=x²-x+1．
（2）由（1）及f（x）＞2x+m⇒m＜x²-3x+1，
令g（x）=x²-3x+1，x∈[-1，1]，則當x∈[-1，1]時，g（x）=x²-3x+1為減函數，
∴當x=1時，g（x）_min=g（1）=-1，從而要使不等式m＜x²-3x+1恒成立，
則m＜-1．
（3）當$a+1≤\frac{1}{2}$，即$a≤-\frac{1}{2}$時，則f（x）在[a，a+1]遞減，∴$f{（x）_{min}}=f（a+1）={a^2}+a+1$
當$a＜\frac{1}{2}＜a+1$，即$，-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}$時，則f（x）在[a，$\frac{1}{2}$]遞減，$[\frac{1}{2}，a+1]$遞增，
∴$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{2}）=\frac{3}{4}$
當$a≥\frac{1}{2}$，時，則f（x）在[a，a+1]遞增，
∴$f{（x）_{min}}=f（a）={a^2}-a+1$
∴$g（a）\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}+a+1，a≤-\frac{1}{2}}\\{\frac{3}{4}，-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}}\\{{a^2}-a+1，a≥\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$．

點評 本題考查二次函數的簡單性質的應用，函數的最值的求法以及恒成立的應用，考查轉化思想，計算能力．