Question

2．在△ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a：b：c=2：5：6．
（1）求cosB；
（2）若△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{39}}{4}$，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）由a：b：c=2：5：6，設a=2k，b=5k，c=6k．（k＞0）．利用余弦定理即可得出cosB．
（2）sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{39}}{8}$．利用$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×2k×6k$×$\frac{\sqrt{39}}{8}$=$\frac{3\sqrt{39}}{4}$，解得k即可得出．

解答 解：（1）由a：b：c=2：5：6，設a=2k，b=5k，c=6k．（k＞0）．
∴cosB=$\frac{（2k）^{2}+（6k）^{2}-（5k）^{2}}{2×2k×6k}$=$\frac{5}{8}$．
（2）sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{39}}{8}$．
∴$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×2k×6k$×$\frac{\sqrt{39}}{8}$=$\frac{3\sqrt{39}}{4}$，解得k=1．
∴△ABC的周長=13k=13．

點評 本題考查了余弦定理、同角三角函數基本關系式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．