Question

10．設$f（x）=\frac{{2{{（x-1）}^2}}}{x}，g（x）=ax+5-2a（a＞0）$，若對于任意x₁∈[1，2]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，則a的取值范圍是（　　）

• A． [4，+∞）
• B． （0，$\frac{5}{2}$）
• C． [$\frac{5}{2}$，4]
• D． [$\frac{5}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 令$f（x）=\frac{2{（x-1）}^{2}}{x}$，x∈[1，2]的值域為A，令g（x）=ax+5-2a（a＞0），x∈[0，1]的值域為B，若對于任意x₁∈[1，2]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，則A⊆B，進而得到答案．

解答 解：令$f（x）=\frac{2{（x-1）}^{2}}{x}$，x∈[1，2]的值域為A，
則A=[0，1]
令g（x）=ax+5-2a（a＞0），x∈[0，1]的值域為B，
則B=[5-2a，5-a]
若對于任意x₁∈[1，2]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，則A⊆B，
即$\left\{\begin{array}{l}5-a≥1\\ 5-2a≤0\end{array}\right.$，
解得：a∈[$\frac{5}{2}$，4]，
故選：C．

點評 本題考查的知識點是存在性問題和恒成立問題，將問題轉化為兩個函數值域的包含問題，是解答的關鍵．