Question

15．已知P為橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$上任意一點，F₁，F₂是橢圓上兩個焦點，試確定點P的位置，使得∠F₁PF₂最大，并說明理由；并求出此時點P的坐標以及∠F₁PF₂的余弦值．

Answer 1

分析 由橢圓方程求出橢圓的長軸長及焦距，在焦點三角形中利用余弦定理及基本不等式求得答案．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，得a²=9，∴a=3，2a=6．
b²=4，c²=a²-b²=5，
則|PF₁|+|PF₂|=6，
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$=$\frac{（|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|）^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|-4{c}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$
=$\frac{4{b}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}-1$$≥\frac{16}{2×（\frac{2a}{2}）^{2}}-1$=$\frac{16}{18}-1=-\frac{1}{9}$，
當且僅當|PF₁|=|PF₂|，即P為橢圓短軸的兩個端點時∠F₁PF₂最大，
cos∠F₁PF₂=$-\frac{1}{9}$，此時P（0，±2）．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了焦點三角形中余弦定理的應用，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．