Question

5．已知函數f（x）=2x-$\frac{b}{x}$，（b＞0），證明：f（x）在（0，+∞）上單調遞增．

Answer 1

分析 證法一：設x₂＞x₁＞0，作差判斷f（x₂），f（x₁）的大小，結合函數單調性的定義，可得答案；
證法二：求導，根據實數的性質，可得當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0恒成立，進而f（x）在（0，+∞）上單調遞增．

解答 證法一：設x₂＞x₁＞0，
則$f（{x_2}）-f（{x_1}）=（2{x_2}-\frac{b}{x_2}）-（2{x_1}-\frac{b}{x_1}）=2（{x_2}-{x_1}）-（\frac{b}{x_2}-\frac{b}{x_1}）$
=$（{x_2}-{x_1}）（2+\frac{b}{{{x_1}{x_2}}}）$，
因為x₂＞x₁＞0，b＞0．
所以x₂-x₁＞0，$2+\frac{b}{{{x_1}{x_2}}}＞0$，
所以f（x₂）＞f（x₁），
所以由定義知f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
證法二：∵函數f（x）=2x-$\frac{b}{x}$，（b＞0），
∴f′（x）=2+$\frac{b}{{x}^{2}}$，
∵b＞0，
∴當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上單調遞增．

點評 本題考查的知識點是函數單調性的證明，利用導數研究函數的單調性，屬于基礎題．