Question

13．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{n+c}{n+1}$（c∈R，n=1，2，3，…），且S₁，$\frac{{S}_{2}}{2}$，$\frac{{S}_{3}}{3}$成等差數列．
（1）求c的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）依題意，S₁，$\frac{{S}_{2}}{2}$，$\frac{{S}_{3}}{3}$成等差數列⇒$\frac{{S}_{2}}{2}$-$\frac{{S}_{1}}{1}$=$\frac{{S}_{3}}{3}$-$\frac{{S}_{2}}{2}$，即$\frac{1+c}{1+1}$=$\frac{2+c}{2+1}$，于是可求c的值；
（2）由c=1得：$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=1，可知數列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以1為首項，1為公差的等差數列，于是可求得S_n=n²，繼而可求得數列{a_n}的通項公式．

解答 解：（1）∵a₁=1，$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{n+c}{n+1}$（c∈R，n=1，2，3，…），且S₁，$\frac{{S}_{2}}{2}$，$\frac{{S}_{3}}{3}$成等差數列，
∴$\frac{{S}_{2}}{2}$-$\frac{{S}_{1}}{1}$=$\frac{{S}_{3}}{3}$-$\frac{{S}_{2}}{2}$，即$\frac{1+c}{1+1}$=$\frac{2+c}{2+1}$，
解得：c=1；
（2）由c=1得：$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=1，又$\frac{{S}_{1}}{1}$=1，
∴數列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以1為首項，1為公差的等差數列，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=1+（n-1）×1=n，
∴S_n=n²．
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
當n=1時，a₁=1符合上式，
∴數列{a_n}的通項公式為：a_n=2n-1．

點評 本題考查數列遞推式的應用，求得c=1與S_n=n²是解決問題的關鍵，考查等差數列性質的運用于等差關系的判定及通項公式的求法，屬于中檔題．