Question

1．數列{a_n}的前n項和為S_n=2ⁿ⁺¹-2，數列{b_n}是首項為a₁，數列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₂=4．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=$\frac{2}{{（n+1）{b_n}}}$（n∈N^*），求數列{c_n}的前n項和T_n．
（3）設d_n=a_n•b_n，數列{d_n}的前n項和M_n，若M_n＞2m-1恒成立，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求數列{a_n}的通項公式：分兩種情況：當n=1和當n≥2、當n≥2時，根據已知條件S_n=2ⁿ⁺¹-2推知a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ；
數列{b_n}的通項公式：結合等比數列的定義進行解答；
（2）利用（2）的結論得到：c_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，采用裂項相消法求數列{c_n}的前n項和T_n．
（3）M_n=（n-1）2ⁿ⁺²+4是遞增的，根據函數的單調性解答即可．

解答 解：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，
又a₁=S₁=2¹⁺¹-2=2=2¹，也滿足上式，所以數列{a_n}的通項公式為：a_n=2ⁿ．
因為b₁=a₁=2，b₂=4，
所以數列{b_n}的通項公式為b_n=2n；
（2）c_n=$\frac{2}{（n+1）bn}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，
數列{c_n}的前n項和T_n=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n×（n+1）}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
（3）d_n=a_n•b_n=2ⁿ2n=2ⁿ⁺¹•n，
M_n=（n-1）2ⁿ⁺²+4，
因為M_n是遞增的，
所以當n=1時M_n的最大值為4，
所以2m-1＜4即m＜$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式、利用“當n=1時，a₁=S₁；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”求數列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．