Question

6．經過點P（4，1）的直線l交雙曲線$\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}$=1于M、N兩點，若點P恰為線段MN中點，則直線l的方程為4x-3y-13=0．

Answer 1

分析 利用點差法：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入雙曲線方程然后作差，由中點坐標公式及斜率公式可求得直線l的斜率，再用點斜式即可求得直線方程．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{12}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{12}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$=1，
兩式相減得（x₁-x₂）（x₁+x₂）-3（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
所以$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{4}{3}$，即k_AB=$\frac{4}{3}$，
故所求直線方程為y-1=$\frac{4}{3}$（x-4），即4x-3y-13=0．
故答案為：4x-3y-13=0．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查直線方程的求法，涉及弦中點問題，往往考慮利用“點差法”加以解決．