Question

17．已知函數f（x）=x²+ax的圖象在點A（0，f（0））處的切線l與直線2x-y+2=0平行，若數列$\left\{{\frac{1}{f（n）}}\right\}$的前n項和為S_n，則S₁₀的值為（　　）

• A． $\frac{175}{264}$
• B． $\frac{11}{24}$
• C． $\frac{175}{132}$
• D． $\frac{2015}{2016}$

Answer 1

分析 f′（x）=2x+a，根據函數f（x）=x²+ax的圖象在點A（0，f（0））處的切線l與直線2x-y+2=0平行，可得f′（0）=a=2，于是f（x）=x²+2x．得到數列$\left\{{\frac{1}{f（n）}}\right\}$的通項公式，利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：f′（x）=2x+a，
∵函數f（x）=x²+ax的圖象在點A（0，f（0））處的切線l與直線2x-y+2=0平行，
∴f′（0）=a=2，
∴f（x）=x²+2x．
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴數列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n項和為S_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）]
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
則S₁₀=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{11}$-$\frac{1}{12}$）
=$\frac{175}{264}$．
故選：A．

點評 本題考查了導數的幾何意義、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．