Question

11．已知f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，x∈R．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調增區間；
（2）函數f（x）的圖象可以由函數y=sinx（x∈R）的圖象經過怎樣變換得到？
（3）求f（x）的最大值及取最大值時x的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用周期公式可求最小正周期T，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得單調遞增區間．
（2）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律即可得解．
（3）令2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得函數取最大值時x的集合．

解答 解：（1）∵f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
∴函數f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
可得單調遞增區間為：[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z，
（2）將y=sinx的圖象先向右平移$\frac{π}{3}$個單位長度，
再把橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$ （縱坐標不變），
然后把縱坐標伸長為原來的3倍（橫坐標不變），
再向上平移1個單位長度，可得f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1的圖象．
（3）令2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：x=kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
可得：x∈{x|x=kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z}時，函數的最大值3+1=4．

點評 本題主要考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數的圖象和性質，屬于基礎題．