Question

3．記max{a，b}為a、b中較大者，函數f（x）=x²+px+q的圖象與x軸交于兩點A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁＜x₂，若存在整數n，使n＜x₁＜x₂＜n+1，則（　　）

• A． max{f（n），f（n+1）}＞1
• B． max{f（n），f（n+1）}＜1
• C． max{f（n），f（n+1）}＞$\frac{1}{2}$
• D． max{f（n），f（n+1）}＜$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得，f（n）＞0，f（n+1）＞0，由方程的根與系數關系可得-p=α+β，q=αβ，先尋求f（n）=f（n+1）時的條件，然后再由f（n）的表達式求解范圍

解答 解：由題意可得，f（n）＞0，f（n+1）＞0，
由方程的根與系數關系可得-p=x₁+x₂，q=x₁•x₂．
當f（n）=f（n+1）時，
n²+pn+q=（n+1）²+p（n+1）+q，
即2n+1+p=0，
∴-p=2n+1，
∴x₁+x₂=-p=2n+1，
∴n=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂-1）
∵f（n）=n²+pn+q=n²-（2n+1）n+q=-n²-n+q=-n（n+1）+q
=-$\frac{1}{4}$（x₁+x₂-1）（x₁+x₂+1）+x₁•x₂
=$\frac{1-{（x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{4}$∈（0，$\frac{1}{4}$）
max{f（n），f（n+1）}的取值范圍是（0，$\frac{1}{4}$），
故選：B

點評 本題主要考查了二次函數性質的應用，解題的關鍵是靈活應用二次函數的對稱性．