Question

12．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}ln（x+1），x＞0\\-{x^2}+2x，x≤0\end{array}$，
（1）用定義法或者導數(shù)法判斷f（x）的單調性；
（2）求不等式f（2x-1）＞f（2-x）的解集．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)的符號求出函數(shù)的單調性即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調性得到關于x的不等式，解出即可．

解答 解：（1）x＞0時，f（x）=ln（x+1），f′（x）=$\frac{1}{x+1}$＞0，是增函數(shù)，
x≤0時，f（x）=-x²+2x，f′（x）=-2x+2=2（1-x）＞0，是增函數(shù)，
故f（x）在R遞增；
（2）由（1）f（x）在R遞增，
故f（2x-1）＞f（2-x），
即2x-1＞2-x，解得：x＞$\frac{1}{3}$，
故不等式的解集是（$\frac{1}{3}$，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性問題，考查導數(shù)的應用以及解不等式問題，是一道基礎題．