Question

1．已知函數f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}}$）（ω＞0），f（${\frac{π}{6}}$）=f（${\frac{π}{3}}$），且f（x）在（${\frac{π}{2}$，π）上單調遞減，則ω=1．

Answer 1

分析 利用整體思想利用區間與區間的子集關系求出ω的范圍，進一步利用代入法進行驗證求出結果．

解答 解：函數f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}}$）（ω＞0），
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤ωx+$\frac{π}{4}}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
取k=0，得：$\frac{π}{4ω}$≤x≤$\frac{5π}{4ω}$，
∵f（x）在（${\frac{π}{2}$，π）上單調遞減，
∴$\frac{π}{4ω}$≤$\frac{π}{2}$＜x＜π≤$\frac{5π}{4ω}$，k∈Z．
解不等式組得到：$\frac{1}{2}$≤ω≤$\frac{5}{4}$，
∵f（${\frac{π}{6}}$）=f（${\frac{π}{3}}$），
∴函數f（x）的一個中心的橫坐標是：x=$\frac{\frac{π}{6}+\frac{π}{3}}{2}$=$\frac{π}{4}$，
令$\frac{π}{4}}$ω+$\frac{π}{4}}$=kπ，k∈Z，則ω=4k+1．k∈Z．
又∵$\frac{1}{2}$≤ω≤$\frac{5}{4}$，
∴ω=1．
故答案是：1．

點評 本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變換，正弦型函數單調性的應用，帶入驗證法的應用，屬于基礎題型．