Question

4．給出下列四個命題：
①若x＞0，則x＞sinx恒成立；
②命題“?x＞0，x-lnx＞0”的否定是“?x＞0，x-lnx≤0”
③“命題p∨q為真”是“命題p∧q為真”的充分不必要條件；
④命題“若a²+b²=0，則a=0且b=0”的逆否命題是“若a≠0或b≠0，則a²+b²≠0”
正確的是（　　）

• A． ①④
• B． ①②
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 構造函數f（x）=x-sinx，求得判斷其單調性，可得若x＞0，則x＞sinx恒成立，則①正確；
寫出特稱命題的否定判斷②錯誤；
由復合命題的真假判斷及充分必要條件的判定方法說明③錯誤；
寫出原命題的逆否命題說明④正確．

解答 解：①，令f（x）=x-sinx，則f′（x）=1-cosx≥0，∴當x＞0時，f（x）＞f（0）=0，即x＞sinx恒成立，故①正確；
②，命題“?x＞0，x-lnx＞0”的否定是“?x₀＞0，x₀-lnx₀≤0”，故②錯誤；
③，命題p∨q為真，p、q中至少一個為真，但不一定p∧q為真，反之，p∧q為真，則p、q均為真，有p∨q為真，
∴“命題p∨q為真”是“命題p∧q為真”的必要不充分條件，故③錯誤；
④，命題“若a²+b²=0，則a=0且b=0”的逆否命題是“若a≠0或b≠0，則a²+b²≠0”，故④正確．
∴正確的命題是①④．
故選：A．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了命題的否定與逆否命題，考查充分必要條件的判定方法，是中檔題．