Question

14．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2alnx+（a-2）x，a∈R．
（1）當a=-1時，求f（x）的單調區間，
（2）若函數f（x）在（2，+∞）上為單調遞增函數，求實數a的范圍．

Answer 1

分析 （1）將a的值代入f（x），求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（2）求出函數的導數，問題轉化為（x-2）（x+a）≥0在（2，+∞）上恒成立，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=-1時，f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2lnx-3x，
f′（x）=$\frac{（x-2）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，2）遞減，在（2，+∞）遞增；
（2）∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2alnx+（a-2）x，a∈R，
∴f′（x）=x-$\frac{2a}{x}$+a-2=$\frac{（x-2）（x+a）}{x}$（x＞0），
由題意知f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，
即  （x-2）（x+a）≥0在（2，+∞）上恒成立
解得 a≥-2，
∴a的取值范圍是[-2，+∞）．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及導數的應用，是一道中檔題．