Question

6．已知x＞0，y＞0，且x+2y=xy，若x+2y＞m²+2m恒成立，則xy的最小值為8，實數m的取值范圍為（-4，2）．

Answer 1

分析 x+2y=xy等價于$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，根據基本不等式得出xy≥8，再次利用基本不等式求出x+2y的最小值，進而得出m的范圍．

解答 解：∵x＞0，y＞0，x+2y=xy，
∴$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，
∴1=$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$≥$2\sqrt{\frac{2}{x}•\frac{1}{y}}$，
∴xy≤8，當且僅當x=4，y=2時取等號，
∴x+2y≥2$\sqrt{2xy}$≥8（當x=2y時，等號成立），
∴m²+2m＜8，解得-4＜m＜2
故答案為：8；（-4，2）

點評 考查了基本不等式的應用和恒成立問題的轉換．應注意基本不等式中等號成立的條件．