Question

3．給出下列命題：
①若奇函數f（x）對定義域內任意x都有f（x）=f（2-x），則函數f（x）為周期函數；
②若函數f（x）=f'（$\frac{π}{4}$）cosx+sinx，則f（$\frac{π}{4}$）的值為1；
③函數f（x）=（x-3）e^x的單調遞增區間為（2，+∞）；
④函數f（x）=x²-2x在區間[0，4]上的零點個數為2，
其中真命題是①③④（將你認為真命題的番號都填上）．

Answer 1

分析 求出函數的周期，可判斷①；求出f（$\frac{π}{4}$）的值可判斷②；求出函數的遞增區間，可判斷③；求出函數的零點個數，可判斷④

解答 解：①若奇函數f（x）對定義域內任意x都有f（x）=f（2-x），
則f（x+4）=f[2-（x+4）]=f（-x-2）=-f（x+2）=-f[2-（x+2）]=-f（-x）=f（x），
則函數f（x）為周期函數；
故①為真命題；
②若函數f（x）=f'（$\frac{π}{4}$）cosx+sinx，
f′（x）=-f'（$\frac{π}{4}$）sinx+cosx，
∴f′（$\frac{π}{4}$）=-f'（$\frac{π}{4}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：f′（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}$．
f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$≠1；
故②為假命題；
③f′（x）=（x-2）e^x，由f′（x）＞0得：x＞2，
故函數f（x）=（x-3）e^x的單調遞增區間為（2，+∞）；
故③為真命題；
④函數f（x）=x²-2x在區間[0，4]上的零點為0，2，故個數為2，
故④為真命題；
故答案為：①③④

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了函數的周期性，函數求值，函數的單調性，函數的零點，難度中檔．