Question

6．在如圖所示的四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD=2，點E為PC的中點，連接DE，BD，BE．
（1）證明：PA∥平面DBE；
（2）若直線BD與平面PBC所成角的為30°，求點E到平面PDB的距離．

Answer 1

分析 （1）連AC，交BD于O，連OE，則PA∥OE，由此能證明PA∥平面DBE．
（2）推導出PD⊥BC，由V_E-PDB=V_D-PEB，能求出點E到平面PDB的距離．

解答 證明：（1）連AC，交BD于O，連OE，則PA∥OE，
又OE?平面DBE，PA?平面DBE，
∴PA∥平面DBE．…（4分）
解：（2）∵側棱PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC．
底面是矩形，∴BC⊥DC，且PD∩DC=D，
∴BC⊥平面PDC．
∴BC⊥DE．
PD=DC，E為PC的中點，∴DE⊥PC．
又PC∩BC=C，∴DE⊥平面PBC．  …（8分）
故若直線BD與平面PBC所成的角即∠DBE=30°．
由已知可求出$DE=\sqrt{2}，DB=2\sqrt{2}$，∴BC=2．      …（9分）
設點E到平面PDB的距離為h，
$由{V_{E-PDB}}={V_{D-PEB}}得\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2•2\sqrt{2}•h=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•\sqrt{2}•2•\sqrt{2}$，…（11分）
解得點E到平面PDB的距離$h=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．