Question

16．過點$（2\sqrt{2}，0）$直線l與曲線$y=\sqrt{4-{x^2}}$交于A，B兩點，O為坐標原點，當△ABO的面積取最大值時，直線l的斜率等于-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 利用當$∠AOB=\frac{π}{2}$時，S_△AOB面積最大，此時O到AB的距離$d=\sqrt{2}$，即可得出結論．

解答 解：如圖：∵${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{OA}||{OB}|sin∠AOB$=$\frac{1}{2}sin∠AOB≤\frac{1}{2}$，
當$∠AOB=\frac{π}{2}$時，S_△AOB面積最大．此時O到AB的距離$d=\sqrt{2}$．
設AB方程為$y=k（x-2\sqrt{2}）（{k＜0}）$，即$kx-y-2\sqrt{2}k=0$．
由$d=\frac{{|{2\sqrt{2}k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$得$k=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
故答案為：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查三角形面積的計算，考查點到直線的距離公式，考查數形結合的數學思想，屬于中檔題．