Question

16．已知下列五個命題：
①若點P（a，2a）（a≠0）為角α終邊上一點，則sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
②若sin_α＞sinβ且α，β均為第二象限角，則tanα＜tanβ；
③若θ是第二象限角，則sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$＞0
④若sinx+cosx=-$\frac{7}{5}$，則tanx＜0．
⑤直線x=-$\frac{π}{3}$是函數(shù)y=3cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1的圖象的一條對稱軸．
其中正確命題的序號為②③⑤．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)的定義求出sinα的值判斷①；根據(jù)題意，畫出單位圓以及α，β為第二象限的角的三角函數(shù)線，根據(jù)三角函數(shù)線得到tanα＜tanβ判斷②；利用二倍角的正弦判斷③；把已知等式兩邊平方可得sinx＜0且cosx＜0，x為第三象限角，得tanx＞0判斷④；直接求出x=-$\frac{π}{3}$時的函數(shù)y=3cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1的函數(shù)值判斷⑤．

解答 解：①若點P（a，2a）（a≠0）為角α終邊上一點，則|OP|=$\sqrt{5}|a|$，
當(dāng)a＞0時，sinα=$\frac{2a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，當(dāng)a＜0時，sinα=$\frac{2a}{-\sqrt{5}a}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$，故①錯誤；
②若sinα＞sinβ，且α，β均為第二象限角，三角函數(shù)線如圖，

則tanα＜tanβ，故②正確；
③若θ是第二象限角，則sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$=$\frac{1}{2}sinθ$＞0，故③正確；
④若sinx+cosx=-$\frac{7}{5}$，得1+2sinxcosx=$\frac{49}{25}$，即sinxcosx=$\frac{12}{25}$，說明sinx＜0且cosx＜0，x為第三象限角，則tanx＞0，故④錯誤；
⑤∵3cos[2×（-$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=3cos（-π）=-3，∴直線x=-$\frac{π}{3}$是函數(shù)y=3cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1的圖象的一條對稱軸，故⑤正確．
∴正確命題的序號是②③⑤．
故答案為：②③⑤．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．