Question

13．證明f（x）=-x²+3在（0，+∞）上是減函數．

Answer 1

分析 證法一：設0＜x₁＜x₂，作差判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，根據函數單調性的定義，可得f（x）=-x²+3在（0，+∞）上是減函數．
證法二：求導，根據當x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0恒成立，可得：f（x）=-x²+3在（0，+∞）上是增函數

解答 證法一：設0＜x₁＜x₂…（2分）
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=-x_1^2+3-（{-x_2^2+3}）$…（4分）
=$x_2^2-x_1^2=（{{x_2}+{x_1}}）（{{x_2}-{x_1}}）$…（6分）
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₂+x₁＞0，x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）=-x²+3在（0，+∞）上是增函數…（10分）
證法二：∵f（x）=-x²+3，
∴f′（x）=-2x，…（4分）
當x∈（0，+∞）時，
f′（x）＜0恒成立，…（8分）
∴f（x）=-x²+3在（0，+∞）上是增函數…（10分）

點評 本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，難度中檔．