Question

2．如圖，設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F₁，F₂，線段OF₁，OF₂的中點分別為B₁，B₂，且△AB₁B₂是面積為4的直角三角形．過B₁作l交橢圓于P、Q兩點，使PB₂垂直QB₂，求直線l的方程x+2y+2=0和x-2y+2=0．

Answer 1

分析 由題意設出橢圓的標準方程，結合已知列式求出橢圓方程，再設出直線l的方程x=my-2，聯立直線方程和橢圓方程，化為關于y的一元二次方程，由根與系數的關系結合向量數量積為0列式求得m值，則直線方程可求．

解答 解：設所求橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），右焦點為F₂（c，0）．
∵△AB₁B₂是直角三角形，又|AB₁|=|AB₂|，∴∠B₁AB₂為直角，
因此|OA|=|OB₂|，得b=$\frac{c}{2}$．
結合c²=a²-b²，得4b²=a²-b²，故a²=5b²，c²=4b²，∴離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$．
在Rt△AB₁B₂中，OA⊥B₁B₂，故${S}_{△A{B}_{1}{B}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•|B₁B₂|•|OA|=|OB₂|•|OA|=$\frac{c}{2}$•b=b²．
由題設條件△AB₁B₂的面積為4，得b²=4，從而a²=5b²=20．
因此所求橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
則B₁（-2，0），B₂（2，0）．
由題意知直線l的傾斜角不為0，故可設直線l的方程為：x=my-2．
代入橢圓方程得（m²+5）y²-4my-16=0．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{16}{{m}^{2}+5}$．
又$\overrightarrow{{B}_{2}Q}=（{x}_{2}-2，{y}_{2}）$，
∴由PB₂⊥QB₂，得$\overrightarrow{{B}_{2}P}•\overrightarrow{Q{B}_{2}}=0$，
即16m²-64=0，解得m=±2．
∴滿足條件的直線有兩條，其方程分別為x+2y+2=0和x-2y+2=0，
故答案為：x+2y+2=0和x-2y+2=0．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，體現了“設而不求”的解題思想方法和數學轉化思想方法，是中檔題．