Question

7．求滿足下列各條件的橢圓的標準方程：
（1）長軸是短軸的3倍且經過點A（3，0）；
（2）短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形，且焦點到同側頂點的距離為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）由題意分類設出橢圓的標準方程，結合已知求得a，b的值得答案；
（2）由已知可得橢圓的長半軸長與半焦距間的關系，聯立方程組求得a，c的值，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求．

解答 解：（1）若焦點在x軸上，設方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．
∵橢圓過點A（3，0），∴$\frac{9}{a^2}=1$，得a=3，
∵2a=3×2b，∴b=1．
∴方程為$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$．
若焦點在y軸上，設方程為$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．
∵橢圓過點A（3，0），∴$\frac{9}{b^2}=1$，得b=3，
又2a=3×2b，∴a=9，
∴方程為$\frac{y^2}{81}+\frac{x^2}{9}=1$．
綜上所述，橢圓方程為$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$或$\frac{y^2}{81}+\frac{x^2}{9}=1$；
（2）由已知，有$\left\{{\begin{array}{l}{a=2c}\\{a-c=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2\sqrt{3}}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，
從而b²=a²-c²=9，
∴所求橢圓方程為$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$，或$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{12}=1$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的簡單性質，訓練了利用待定系數法求橢圓的標準方程，是中檔題．