Question

19．已知點P（x，y）滿足$\left\{\begin{array}{l}x+y≤6\\ y≥x\\ x≥2\end{array}\right.$過點P的直線與圓x²+y²=36相交于A、B兩點，則|AB|的最小值為（　　）

• A． 8
• B． $4\sqrt{5}$
• C． $6\sqrt{2}$
• D． 10

Answer 1

分析 不等式$\left\{\begin{array}{l}x+y≤6\\ y≥x\\ x≥2\end{array}\right.$對應的平面區域為三角形CDE，C（3，3），D（2，2），E（2，4），利用直線與圓的位置關系，確定點P的位置，進行即可即可．

解答 解：不等式$\left\{\begin{array}{l}x+y≤6\\ y≥x\\ x≥2\end{array}\right.$對應的平面區域為三角形CDE，C（3，3），D（2，2），E（2，4）
過點P的直線l與圓x²+y²=36相交于A、B兩點，要使|AB|最小，則圓心到過P的直線的距離最大，
當點P在E處時，滿足條件，此時OE⊥AB，
此時|OE|=$\sqrt{4+16}$=2$\sqrt{5}$，
∴|AB|=2|BE|=2$\sqrt{36-20}$=8，
故選A．

點評 本題主要考查直線與圓的位置關系的應用，利用直線和圓相交，根據弦長公式確定點P的位置是解決本題的關鍵，綜合性較強．