Question

4．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）與不過坐標原點O的直線l：y=kx+m相交與A、B兩點，線段AB的中點為M，若AB、OM的斜率之積為-$\frac{3}{4}$，則橢圓C的離心率為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．線段AB的中點M（x₀，y₀）．可得$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=1，相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，利用中點坐標公式、斜率計算公式及其$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$•k=$-\frac{3}{4}$，即可得出$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，再利用離心率計算公式即可得出．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．線段AB的中點M（x₀，y₀）．
∵$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，
把x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k代入可得：$\frac{2{x}_{0}}{{a}^{2}}$+$\frac{2{y}_{0}k}{{b}^{2}}$=0，
又$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$•k=$-\frac{3}{4}$，∴$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{3}{4{b}^{2}}$=0，解得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$．
∴e=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、中點坐標公式、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．