Question

10．已知首項為-6的等差數列{a_n}的前7項和為0，等比數列{b_n}滿足b₃=a₇，|b₃-b₄|=6．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）是否存在正整數k，使得數列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前k項和大于$\sqrt{2}$？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：7a₁+$\frac{7×6}{2}$×d=0，求得d=2，即可求得a_n=2n-8，則b₃=a₇=6，則|6-b₄|=6．求得b₄=12則q=$\frac{{b}_{4}}{{b}_{3}}$=2，由等比數列的性質可知：b_n=b₃•q^n-3，即可求得數列{b_n}的通項公式；
（2）$\frac{1}{{b}_{n}}$$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，數列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}是以$\frac{2}{3}$為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數列，T_k=$\frac{\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{2}^{k}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{4}{3}$（1-$\frac{1}{{2}^{k}}$），則T_k＜$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$＜$\sqrt{2}$，不存在正整數k，使得數列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前k項和大于$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，前n項S_n，a₁=-6，
由S₇=0，即7a₁+$\frac{7×6}{2}$×d=0，解得：d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=-6+（n-1）×2=2n-8，…（3分）
設等比數列{b_n}的公比為q，則由b₃=a₇=6，由|b₃-b₄|=6，即，|6-b₄|=6．
∴b₄=12或b₄=0，
又∵{b_n}為等比數列，
∴b₄=12
∴q=2，
∴b_n=b₃•q^n-3=6×2^n-3=3×2^n-2，
數列{b_n}的通項公式b_n=3×2^n-2；…（7分）
（Ⅱ）$\frac{1}{{b}_{n}}$$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
數列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}是以$\frac{2}{3}$為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數列，
數列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前k項和T_k=$\frac{\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{2}^{k}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{4}{3}$（1-$\frac{1}{{2}^{k}}$），
∴T_k＜$\frac{4}{3}$，又∵$\frac{4}{3}$＜$\sqrt{2}$，
∴不存在正整數k，使得數列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前k項和大于$\sqrt{2}$．…（12分）

點評 本題考查等差數列及等比數列通項公式的求法，等比數列的性質，考查等比數列前n項和公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．