Question

20．已知函數y=f（x），y=g（x）的值域均為R，有以下命題：
①若對于任意x∈R都有f[f（x）]=f（x）成立，則f（x）=x．
②若對于任意x∈R都有f[f（x）]=x成立，則f（x）=x．
③若存在唯一的實數a，使得f[g（a）]=a成立，且對于任意x∈R都有g[f（x）]=x²-x+1成立，則存在唯一實數x₀，使得g（ax₀）=1，f（x₀）=a．
④若存在實數x₀，y₀，f[g（x₀）]=x₀，且g（x₀）=g（y₀），則x₀=y₀．
其中是真命題的序號是①③④．（寫出所有滿足條件的命題序號）

Answer 1

分析 令t=f（x），利用換元法，可得①為真命題；當f（x）=-x時，f[f（x）]=-f（x）=x任意x∈R都成立，可得②為假命題；
③利用反證法證明，假設存在實數x₀，利用題設來證明命題成立；顯而易見，④為真命題；

解答 解：①令t=f（x），則對于任意x∈R都有f[f（x）]=f（x）成立可化為：f（t）=t，
即f（x）=x，故①為真命題；
②令$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{0，x=0}\\{\frac{1}{x}，x≠0}\end{array}\right.$，顯然能滿足題設條件，當x≠0，有f（x）=$\frac{1}{x}$，不滿足結論；
故②為假命題；
③假設存在實數x₀，
∵f（x₀）=a，f（g（a））=a；
∴g（a）=x₀；
g（f（x₀））=${x}_{0}^{2}$-x₀+1；
=[g（a）]²-g（a）+1；
 而f（g（a））=a，
∴命題成立；
故③正確；
④∵$\left\{\begin{array}{l}{f[g（{x}_{0}）]={x}_{0}}\\{f[g（{y}_{0}）]={y}_{0}}\end{array}\right.$，g（x₀）=g（y₀）；
∴x₀=y₀；
故④正確；
故答案為：①③④

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了函數的定義域和值域，存在性問題，難度中檔．