Question

15．有下列命題：
①在函數y=cos（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）的圖象中，相鄰兩個對稱中心的距離為π；
②命題：“若a=0，則ab=0”的否命題是“若a=0，則ab≠0”；
③“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的必要不充分條件；
④已知命題p：對任意的x∈R，都有sin≤1，則￢p是：存在x₀∈R，使得sinx₀＞1；
⑤命題“若0＜a＜1，則log_a（a+1）＞log_a（1+$\frac{1}{a}$）”是真命題；
⑥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|恒成立；
⑦若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，則$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$；  
其中所有真命題的序號是③④⑤⑦．

Answer 1

分析 利用誘導公式和二倍角公式化簡得y=$\frac{1}{2}$cos2x，周期T=π，則相鄰兩個對稱中心的距離為$\frac{π}{2}$，故①錯誤；根據否命題的定義可知②錯誤；“a+b=0”是“a=5，且b=-5”的必要不充分條件，而原命題與逆否命題真假性相同，故③正確；根據命題的否定的定義可知④正確；利用對數函數的單調性即可判斷⑤正確；當$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}＜$0時，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|＞|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$，故⑥錯誤；根據向量的數量積定義可知⑦正確．

解答 解：對于①：y=cos（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）=cos[$（x+\frac{π}{4}）-\frac{π}{2}$]cos（x+$\frac{π}{4}$）=sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{2}）=\frac{1}{2}cos2x$，周期T=π，所以相鄰兩個對稱中心的距離為$\frac{π}{2}$，故①錯誤；
對于②：根據否命題的定義可知，否命題是“若a≠0，則ab≠0”，故②錯誤；
對于③：因為“a=5，且b=-5”是“a+b=0”的充分不必要條件，所以“a+b=0”是“a=5，且b=-5”的必要不充分條件，根據原命題與逆否命題真假性相同的規律可知，“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的必要不充分條件，故③正確；
對于④：根據命題的否定的定義可知，全稱命題的否定是特稱命題，故④正確；
對于⑤：因為0＜a＜1，所以y=log_ax在（0，+∞）上單調遞減，又因為a+1＜1+$\frac{1}{a}$，所以$lo{g}_{a}（a+1）＞lo{g}_{a}（1+\frac{1}{a}）$，故⑤正確；
對于⑥：當$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}＜$0時，${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}＞{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，所以$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}＞（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}$，即$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|＞|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$，故⑥錯誤；
對于⑦：根據向量的數量積定義可知，⑦正確．
故答案為：③④⑤⑦

點評 本題通過判斷命題的真假考查了三角函數的圖象及性質，簡易邏輯，對數函數以及向量的有關知識，只有扎實掌握各章節基礎知識才能正確解答．