Question

6．在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的一邊AB在x軸上，另一邊CD在x軸上方，且AB=8，BC=6，其中A（-4，0）、B（4，0）．
（1）若A、B為橢圓的焦點，且橢圓經(jīng)過C、D兩點，求該橢圓的方程；
（1）若A、B為雙曲線的焦點，且雙曲線經(jīng)過C、D兩點，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的定義：丨CA丨+丨CB丨=16=2a，求得a=8，則b²=a²-c²=64-16=48，即可求得橢圓方程；
（2）根據(jù)雙曲線的定義：丨CA丨-丨CB丨=4=2a′，則求得a′=2，則b²=c²-a′²=16-4=12，即可求得雙曲線的標準方程．

解答 解：（1）∵A、B為橢圓的焦點，且橢圓經(jīng)過C、D兩點，
根據(jù)橢圓的定義：丨CA丨+丨CB丨=16=2a，
∴a=8，…4分
在橢圓中：b²=a²-c²=64-16=48，…6分
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{48}=1$；…8分
（2）∵A、B為雙曲線的焦點，且雙曲線經(jīng)過C、D兩點，
根據(jù)雙曲線的定義：丨CA丨-丨CB丨=4=2a′，
∴a′=2，…10分
在雙曲線中：b²=c²-a′²=16-4=12，…12分
∴雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．…14分．

點評 本題考查橢圓及雙曲線的標準方程，橢圓及雙曲線的定義，屬于基礎(chǔ)題．