Question

18．已知f（x）=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$．
（1）證明：f（x）是定義域內的增函數；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）求導，根據f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是定義域R內的增函數；
（2）求出函數在x→-∞時和x→+∞時的極限值，進而可得函數的值域．

解答 （1）證明：∵f（x）=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$=$\frac{1{0}^{2x}-1}{1{0}^{2x}+1}$=1-$\frac{2}{1{0}^{2x}+1}$．
∴f′（x）=$\frac{4•ln10•{10}^{2x}}{（1{0}^{2x}+1）^{2}}$，
∵f′（x）＞0恒成立，
故f（x）是定義域R內的增函數；
（2）當x→-∞時，10^2x→0，$\frac{2}{1{0}^{2x}+1}$→2，f（x）→-1，
當x→+∞時，10^2x→+∞，$\frac{2}{1{0}^{2x}+1}$→0，f（x）→1，
故f（x）的值域為（-1，1）．

點評 本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，函數的值域，極限運算，難度中檔．