Question

3．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1{0}^{-x}-2，x≤0}\\{2ax-1，x＞0}\end{array}\right.$（a是常數，a＞0）．給出下列命題：
①函數的最小值為-1；
②若方程m=|f（x+k）|（k∈R）有兩個零點，則m≥1
③若f（x）＞0在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，則a的取值范圍是a≥1
④對任意的x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁≠x₂，恒有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$．
其中正確命題的序號是①④．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 畫出函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1{0}^{-x}-2，x≤0}\\{2ax-1，x＞0}\end{array}\right.$（a是常數且a＞0）的圖象，
①由圖只需說明在點x=0處函數f（x）的最小值是-1；判斷①的正誤；
②利用函數的零點個數判斷②的正誤；
③只需說明f（x）＞0在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，則當x=$\frac{1}{2}$時，函數取得最小值，
從而求得a的取值范圍是a＞1；判斷③的正誤；
④已知函數f（x）的圖象在（-∞，0））上是下凹的，所以任取兩點連線應在圖象的上方．判斷④的正誤；

解答 解：對于①，由圖只需說明在點x=0處函數f（x）的最小值是-1；故正確；
對于②，方程m=|f（x+k）|（k∈R）有兩個零點，而函數y=|f（x+k）|，由f（x）圖象左右平移后，x軸下方的部分對稱到x軸上方，m=1時，有3個零點，所以②不正確；
對于③，只需說明f（x）＞0在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，則當x=$\frac{1}{2}$時，函數取得最小值，求得a的取值范圍是a＞1；不正確；
對于④，已知函數f（x）在（-∞，0）上的圖象是下凹的，所以任取兩點連線應在圖象的上方，即有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，故正確．
故答案為：①④．

點評 利用函數的圖象研究函數的單調區間，以及根據函數的增減性得到函數的最值是常用的方法，解答本題的關鍵是圖象法．