Question

16．已知（$\root{3}{{x}^{2}}$+3x²）ⁿ的展開式中，各項系數的和與其各項二項式系數的和之比為32．
（1）求n；
（2）求展開式中二項式系數最大的項．

Answer 1

分析 （1）令二項式中的x=1得到展開式中的各項系數的和，根據二項式系數和公式得到各項二項式系數的和，據已知列出方程求出n的值．
（2）將n的值代入二項式，根據中間項的二項式系數最大，判斷出二項式系數最大的項，利用二項展開式的通項公式求出該項．

解答 解：（1）令x=1，則（$\root{3}{{x}^{2}}$+3x²）ⁿ展開式的各項系數和為4ⁿ，又（$\root{3}{{x}^{2}}$+3x²）ⁿ展開式的各項二項式系數和為2ⁿ，
所以$\frac{{4}^{n}}{{2}^{n}}$=32，即2ⁿ=32，解得n=5；
（2）由（1）可知：n=5，所以（$\root{3}{{x}^{2}}$+3x²）⁵展開式的中間兩項二項式系數最大，即
T₃=C₅²$（\root{3}{{x}^{2}}）^{3}$（3x²）²=90x⁶，
T₄=C₅³（$\root{3}{{x}^{2}}$）²（3x²）³=270x${\;}^{\frac{22}{3}}$．

點評 求二項展開式的系數和問題一般通過觀察通過賦值求出系數和；求二項展開式的特定項問題，一般利用的工具是二項展開式的通項公式．