Question

4．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞]上單調(diào)遞增，若實數(shù)a滿足f（log₂a）+f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}a$）≤2f（1），則a的取值范圍是（　　）

• A． [1，2]
• B． （0，$\frac{1}{2}$]
• C． （0，2]
• D． [$\frac{1}{2}$，2]

Answer 1

分析 根據(jù)題意，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）單調(diào)遞增且為偶函數(shù)，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)可以將f（log₂a）+f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}a$）≤2f（1）轉(zhuǎn)化為|log₂a|≤1，解可得a的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且log₂a=-$lo{g}_{\frac{1}{2}}a$，
則有f（log₂a）=f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}a$）=f（|log₂a|），
f（log₂a）+f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}a$）≤2f（1）⇒f（log₂a）≤f（1）⇒f（|log₂a|）≤f（1），
又由函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，
則有|log₂a|≤1，
即有-1≤log₂a≤1，
解可得：$\frac{1}{2}$≤a≤2，即a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，2]
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的綜合應用，涉及對數(shù)基本運算，關(guān)鍵是充分利用函數(shù)的奇偶性進行轉(zhuǎn)化變形．