Question

9．已知雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，過其左焦點F作斜率為$\frac{1}{2}$的直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為A、B，若$\overrightarrow{FA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，則雙曲線的兩條漸近線方程為（　　）

• A． $y=±\frac{1}{3}x$
• B． $y=±（\sqrt{2}-1）x$
• C． y=±x
• D． $y=±\frac{1}{4}x$

Answer 1

分析 由題意可得已知直線l的方程為：y=$\frac{1}{2}$（x+c），與兩條漸近線方程y=±$\frac{b}{a}$x分別聯立，解得A，B的坐標．利用$\overrightarrow{FA}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，即可得出a，b的關系，可得雙曲線的漸近線方程．

解答 解：由題意可得F（-c，0），已知直線l的方程為：y=$\frac{1}{2}$（x+c），
與兩條漸近線方程y=±$\frac{b}{a}$x分別聯立，
解得A（-$\frac{ac}{a+2b}$，$\frac{bc}{a+2b}$），B（-$\frac{ac}{a-2b}$，-$\frac{bc}{a-2b}$）．
∵$\overrightarrow{FA}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$\frac{bc}{a+2b}$=$\frac{1}{2}$（-$\frac{bc}{a-2b}$-$\frac{bc}{a+2b}$），
化為b=a，
則雙曲線的漸近線為y=±x．
故選C．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，以及向量共線的坐標表示，熟練掌握雙曲線的漸近線與直線的方程的交點是解題的關鍵．