Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=a，E是PC的中點．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求直線PB與平面ABCD所成角的正切值；
（3）證明：PA∥平面EDB．

Answer 1

分析 （1）由PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=DC=a，能求出四棱錐P-ABCD的體積．
（2）由PD⊥底面ABCD，知直線PB與平面ABCD所成角為∠PBD，由此能求出直線PB與平面ABCD所成角的正切值．
（3）連結AC交BD于O，連結EO，推導出PA∥EO，由此能證明PA∥平面EDB．

解答 解：（1）∵PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=DC=a，
∴四棱錐P-ABCD的體積${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}{S_{ABCD}}•PD=\frac{1}{3}×a×a×a=\frac{1}{3}{a^3}$．…4分
（2）由PD⊥底面ABCD，知直線PB與平面ABCD所成角為∠PBD，…6分
∵$BD=\sqrt{2}a$，
∴$tan∠PBD=\frac{a}{{\sqrt{2}a}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴直線PB與平面ABCD所成角的正切值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…8分
證明：（3）連結AC交BD于O，連結EO，
∵底面ABCD是正方形，∴點O是AC的中點，
在△PAC中，∵E是PC的中點，∴EO是中位線，
∴PA∥EO，
∵EO?平面EBD，且PA?平面EBD，
∴PA∥平面EDB．…12分

點評 本題考查四棱錐的體積的求法，考查線面角的正切值的求法，考查線面平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，是中檔題．