Question

20．已知函數f（x）=2x³+ax²+b在點M（1，3）處的切線與直線x-6y-3=0垂直．
（1）求a，b的值；
（2）求函數f（x）的單調區間和極值．

Answer 1

分析 （1）求出原函數的導函數，利用f（1）=3，f′（1）=-6聯立方程組求解a，b的值；
（2）對函數求導，寫出函數的導函數等于0的x的值，列表表示出在各個區間上的導函數和函數的單調性情況，求出極值

解答 解：（1）f′（x）=6x^2₊₂ax．依題意可得f（1）=3，f′（1）=-6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2+a+b=3}\\{6+2a=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-6}\\{b=7}\end{array}\right.$；
（2）由（1）得f（x）=2x³-6x²+7，f′（x）=6x²-12x=6x（x-2）
x，f（x），f′（x）變化如下：
 

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

∴所以函數f（x）的遞增區間為（-∞，0），（2，+∞），遞減區間為（0，2）
極大值為f（x）_極大值=f（0）=7，極小值為f（x）_極小值=f（2）=-1．

點評 本題考查了導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程、考查函數的單調性等基礎知識，考查運算求解能力．屬于中檔題．