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1.已知函數f(x)=alnx+(x-c)|x-c|,a<0,c>0
(Ⅰ)當$a=-\frac{3}{4},c=\frac{1}{4}$時,求函數f(x)的單調區間;
(Ⅱ)設函數f(x)的圖象在點P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))兩處的切線分別為l1,l2.若${x_1}=\sqrt{-\frac{a}{2}},{x_2}=c$,且l1⊥l2,求實數c的最小值.

分析 (Ⅰ)求出函數的導數,解關于導函數的不等式,求出函數的單調區間即可;
(Ⅱ)根據垂直關系求出a的范圍,令$\sqrt{-8a}=t$,則$a=-\frac{t^2}{8},t>2$,表示出c,根據函數的單調性求出c的最小值即可.

解答 解:函數$f(x)=\left\{\begin{array}{l}alnx+{(x-c)^2},x≥c\\ alnx-{(x-c)^2},0<x<c\end{array}\right.$,求導數$f'(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{{2{x^2}-2cx+a}}{x},x≥c\\ \frac{{-2{x^2}+2cx+a}}{x},0<x<c\end{array}\right.$,
(Ⅰ)當$a=-\frac{3}{4},c=\frac{1}{4}$時,$f'(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{{8{x^2}-2x-3}}{4x},x≥\frac{1}{4}\\ \frac{{-8{x^2}+2x-3}}{4x},0<x<\frac{1}{4}\end{array}\right.$,
若$0<x<\frac{1}{4}$,則$f'(x)=\frac{{-8{x^2}+2x-3}}{4x}<0$恒成立,
所以f(x)在$(0,\frac{1}{4})$上單調遞減;若$x≥\frac{1}{4}$,則$f'(x)=\frac{(2x+1)(4x-3)}{4x}$,
令f'(x)=0,解得$x=\frac{3}{4}$或$x=-\frac{1}{2}$(舍),
當$\frac{1}{4}≤x<\frac{3}{4}$時,f'(x)<0,f(x)在$[\frac{1}{4},\frac{3}{4})$上單調遞減;
當$x>\frac{3}{4}$時,f'(x)>0,f(x)在$(\frac{3}{4},+∞)$上單調遞增.
所以函數f(x)的單調遞減區間是$(0,\frac{3}{4})$,單調遞增區間是$(\frac{3}{4},+∞)$…(5分)
(Ⅱ)由l1⊥l2知,$f'(\sqrt{-\frac{a}{2}})f'(c)=-1$,而$f'(c)=\frac{a}{c}$,則$f'(\sqrt{-\frac{a}{2}})=-\frac{c}{a}$,
若$\sqrt{-\frac{a}{2}}≥c$,則$f'(\sqrt{-\frac{a}{2}})=\frac{{2(-\frac{a}{2})-2c\sqrt{-\frac{a}{2}}+a}}{{\sqrt{-\frac{a}{2}}}}=-2c$
 所以$-2c=-\frac{c}{a}$,解得$a=\frac{1}{2}$,不符合題意…(7分)
故$\sqrt{-\frac{a}{2}}<c$,則$f'(\sqrt{-\frac{a}{2}})=\frac{{-2(-\frac{a}{2})+2c\sqrt{-\frac{a}{2}}+a}}{{\sqrt{-\frac{a}{2}}}}=-\sqrt{-8a}+2c=-\frac{c}{a}$
整理得$c=\frac{{a\sqrt{-8a}}}{2a+1}$,由c>0,a<0得$a<-\frac{1}{2}$…(10分)
令$\sqrt{-8a}=t$,則$a=-\frac{t^2}{8},t>2$,所以$c=\frac{{-\frac{t^2}{8}•t}}{{-\frac{t^2}{4}+1}}=\frac{t^3}{{2{t^2}-8}}$
設$g(t)=\frac{t^3}{{2{t^2}-8}},t>2$,當$2<t<2\sqrt{3}$時,g'(t)<0,g(t)在$(2,2\sqrt{3})$上單調遞減;
當$t>2\sqrt{3}$時,g'(t)>0,g(t)在$(2\sqrt{3},+∞)$上單調遞增
所以函數g(t)的最小值為$g(2\sqrt{3})=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$,故實數c的最小值為$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$…(12分)

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題,考查導數的應用以及分類討論思想,轉化思想,是一道綜合題.

練習冊系列答案
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