Question

19．已知函數$f（x）=x-{e^{\frac{x}{a}}}$（a＞0），且y=f（x）的圖象在x=0處的切線l與曲y=e^x相切，符合情況的切線（　　）

• A． 有0條
• B． 有1條
• C． 有2條
• D． 有3條

Answer 1

分析 求出f（x）的導數，可得切線的斜率和切點，求得切線l的方程，再假設l與曲線y=e^x相切，設切點為（x₀，y₀），即有e${\;}^{{x}_{0}}$=1-$\frac{1}{a}$=（1-$\frac{1}{a}$）x₀-1，消去a得e${\;}^{{x}_{0}}$=e${\;}^{{x}_{0}}$•x₀-1，設h（x）=e^xx-e^x-1，求出導數和單調區間，可得h（x）在（0，+∞）有唯一解，由a＞0，即可判斷不存在．

解答 解：函數f（x）=x-e${\;}^{\frac{x}{a}}$的導數為f′（x）=1-$\frac{1}{a}$e${\;}^{\frac{x}{a}}$，a＞0．
易知，曲線y=f（x）在x=0處的切線l的斜率為1-$\frac{1}{a}$，切點為（0，-1），
可得切線的方程為y=（1-$\frac{1}{a}$）x-1．
假設l與曲線y=e^x相切，設切點為（x₀，y₀），
即有e${\;}^{{x}_{0}}$=1-$\frac{1}{a}$=（1-$\frac{1}{a}$）x₀-1，
消去a得e${\;}^{{x}_{0}}$=e${\;}^{{x}_{0}}$•x₀-1，設h（x）=e^xx-e^x-1，
則h′（x）=e^xx，令h′（x）＞0，則x＞0，
所以h（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，
當x→-∞，h（x）→-1，x→+∞，h（x）→+∞，
所以h（x）在（0，+∞）有唯一解，則e${\;}^{{x}_{0}}$＞1，
而a＞0時，1-$\frac{1}{a}$＜1，與e${\;}^{{x}_{0}}$＞1矛盾，所以不存在．
故選：A．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程和單調區間，考查直線方程的運用和構造函數法，以及函數方程的轉化思想的運用，屬于中檔題．