Question

4．函數φ（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示，若把函數φ（x）的圖象縱坐標不變，橫坐標擴大到原來的2倍，得到函數f（x）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若函數y=f（x+φ′）（0＜φ′＜$\frac{π}{2}$）是奇函數，求函數g（x）=cos（2x-φ′）在[0，2π]上的單調遞減區間．

Answer 1

分析 （1）根據φ（x）的部分圖象，得出A、T、ω和φ的值，寫出函數φ（x）；再利用圖象變換得出函數f（x）；
（2）根據f（x）得出f（x+φ′），利用奇函數的定義得出φ′的值，寫出函數g（x），求出它在x∈[0，2π]上的單調遞減區間．

解答 解：（1）根據φ（x）=Asin（ωx+φ）的部分圖象知，
A=2，$\frac{T}{4}$=$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$，
∴T=π，ω=$\frac{2π}{T}$=2；
又2sin（2×$\frac{5π}{12}$+φ）=2，
∴$\frac{5π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴φ=-$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z；
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴φ（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
把函數φ（x）的圖象縱坐標不變，橫坐標擴大到原來的2倍，
得函數f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）的圖象；
（2）由（1）可知f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x+φ′）=2sin（x+φ′-$\frac{π}{3}$），
∵y=f（x+φ′）是奇函數，則sin（φ′-$\frac{π}{3}$）=0，
又0＜φ′＜$\frac{π}{2}$，
∴φ′=$\frac{π}{3}$，∴g（x）=cos（2x-φ′）=cos（2x-$\frac{π}{3}$），
令2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，k∈Z，
則kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∴g（x）的單調遞減區間是[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z，
又x∈[0，2π]，∴當k=0時，遞減區間為[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]；
當k=1時，遞減區間為[$\frac{7π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]；
∴函數g（x）在[0，2π]上的單調遞減區間是[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，[$\frac{7π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]．

點評 本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，是綜合題．