Question

14．已知正方形ABCD的邊長為2，E是BC的中點，以點C為圓心，CE長為半徑作圓，點P是該圓上的任一點，則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{DE}$的取值范圍是（　�。�

• A． $[0，2+\sqrt{6}]$
• B． $[2-\sqrt{6}，2+\sqrt{6}]$
• C． $[0，2+\sqrt{5}]$
• D． $[2-\sqrt{5}，2+\sqrt{5}]$

Answer 1

分析 由題意，建立平面直角坐標系，設出各點坐標，利用數量積的坐標運算，得到P的關系式，結合點在圓上得到所求范圍．

解答 解：由題意，建立平面直角坐標系，如圖則A（0，0），C（2，2），D（0，2），E（2，1），P（x，y），則（x-2）²+（y-2）²=1，
$\overrightarrow{AP}$=（x，y），$\overrightarrow{DE}$=（2，-1），
所以$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{DE}$=2x-y=z，則y=2x-z，當此直線與圓相切時使得在y軸的截距取得最值，所以$\frac{|2-z|}{\sqrt{5}}=1$，解得z=2$±\sqrt{5}$，
所以$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{DE}$的取值范圍是[2-$\sqrt{5}$，2+$\sqrt{5}$]；
故選D．

點評 本題考查了向量的坐標運算、點與圓的位置關系，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．