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2.已知函數f(x)的定義域為R,當x>0時,f(x)<2,對任意的x,y∈R,f(x)+f(y)=f(x+y)+2成立,若數列{an}滿足a1=f(0),且f(an+1)=f($\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$),n∈N*,則a2017的值為(  )
A.2B.$\frac{6}{2×{3}^{2016}-1}$C.$\frac{2}{2×{3}^{2016}-1}$D.$\frac{2}{2×{3}^{2015}-1}$

分析 計算a1,判斷f(x)的單調性得出遞推公式an+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$,兩邊取倒數化簡得出∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$}是等比數列,從而得出{an}的通項公式.

解答 解:令x=y=0得f(0)=2,∴a1=2.
設x1,x2是R上的任意兩個數,且x1<x2,則x2-x1>0,
∵x>0,f(x)<2;
∴f(x2-x1)<2;
即f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-2<2+f(x1)-2=f(x1),
∴f(x)在R上是減函數,
∵f(an+1)=f($\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$),
∴an+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$,即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{{a}_{n}}$+1,
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{2}$=3($\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$),
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$}是以1為首項,以3為公比的等比數列,
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$=3n-1,
∴an=$\frac{2}{2•{3}^{n-1}-1}$,∴a2017=$\frac{2}{2•{3}^{2016}-1}$.
故選C.

點評 本題主要考查函數與數列的轉化,利用抽象函數的關系結合函數的單調性的定義判斷函數單調性是解決本題的關鍵.綜合性較強,難度較大.

練習冊系列答案
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13.已知數列{an}的各項均為正數,且滿足a1=1,$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}^{2}}$=1(n≥2,n∈N*),則a1024=(  )
A.$\frac{\sqrt{2}}{16}$B.$\frac{1}{16}$C.$\frac{\sqrt{2}}{32}$D.$\frac{1}{32}$

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(2)若AD⊥AB,BC⊥PC,求證:平面PAC⊥平面PBC.

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10.在平面直角坐標系內,區(qū)域M滿足$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤π\(zhòng)\ 0≤y≤1\end{array}$區(qū)域N滿足$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤π\(zhòng)\ 0≤y≤sinx\end{array}$則向區(qū)域M內投一點,落在區(qū)域N內的概率是( 。
A.$\frac{2}{π}$B.$\frac{π}{4}$C.2-$\frac{2}{π}$D.2-$\frac{π}{4}$

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A.$[0,2+\sqrt{6}]$B.$[2-\sqrt{6},2+\sqrt{6}]$C.$[0,2+\sqrt{5}]$D.$[2-\sqrt{5},2+\sqrt{5}]$

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(1)試估算該校高三年級學生獲得成績?yōu)锽的人數;
(2)若等級A、B、C、D、E分別對應100分、90分、80分、70分、60分,學校要求當學生獲得的等級成績的平均分大于90分時,高三學生的考前心理穩(wěn)定,整體過關,請問該校高三年級目前學生的考前心理穩(wěn)定情況是否整體過關?
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A.$\frac{1}{2}$B.1C.2D.3

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