A. | 2 | B. | $\frac{6}{2×{3}^{2016}-1}$ | C. | $\frac{2}{2×{3}^{2016}-1}$ | D. | $\frac{2}{2×{3}^{2015}-1}$ |
分析 計算a1,判斷f(x)的單調性得出遞推公式an+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$,兩邊取倒數化簡得出∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$}是等比數列,從而得出{an}的通項公式.
解答 解:令x=y=0得f(0)=2,∴a1=2.
設x1,x2是R上的任意兩個數,且x1<x2,則x2-x1>0,
∵x>0,f(x)<2;
∴f(x2-x1)<2;
即f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-2<2+f(x1)-2=f(x1),
∴f(x)在R上是減函數,
∵f(an+1)=f($\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$),
∴an+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$,即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{{a}_{n}}$+1,
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{2}$=3($\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$),
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$}是以1為首項,以3為公比的等比數列,
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$=3n-1,
∴an=$\frac{2}{2•{3}^{n-1}-1}$,∴a2017=$\frac{2}{2•{3}^{2016}-1}$.
故選C.
點評 本題主要考查函數與數列的轉化,利用抽象函數的關系結合函數的單調性的定義判斷函數單調性是解決本題的關鍵.綜合性較強,難度較大.
科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{\sqrt{2}}{16}$ | B. | $\frac{1}{16}$ | C. | $\frac{\sqrt{2}}{32}$ | D. | $\frac{1}{32}$ |
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{2}{π}$ | B. | $\frac{π}{4}$ | C. | 2-$\frac{2}{π}$ | D. | 2-$\frac{π}{4}$ |
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科目:高中數學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | $[0,2+\sqrt{6}]$ | B. | $[2-\sqrt{6},2+\sqrt{6}]$ | C. | $[0,2+\sqrt{5}]$ | D. | $[2-\sqrt{5},2+\sqrt{5}]$ |
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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