Question

13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，CD∥AB，AD=DC=$\frac{1}{2}$AB．
（1）若M是PB的中點，求證：CM∥平面PAD；
（2）若AD⊥AB，BC⊥PC，求證：平面PAC⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （1）取AP的中點N，連接MN和DN，利用中位線定理得出四邊形MNDC時平行四邊形，故而CM∥DN，從而CM∥平面PAD；
（2）利用勾股定理的逆定理證明AC⊥BC，結合BC⊥PC得出BC⊥平面PAC，于是平面PAC⊥平面PBC．

解答 證明：（1）取AP的中點N，連接MN和DN，
∵M是PB的中點，N是PA的中點，
∴$MN∥AB，MN=\frac{1}{2}AB$，
又$CD∥AB，CD=\frac{1}{2}AB$，
∴MN=CD，MN∥CD，
∴四邊形MNDC是平行四邊形，
∴CM∥DN．
又CM?平面PAD，DN?平面PAD，
∴CM∥平面PAD．
（2）設AD=CD=1，則AB=2，
∴AC=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，
∴AC²+BC²=AB²，∴BC⊥AC，
又BC⊥PC，AC?平面ACP，PC?面ACP，AC∩PC=C，
∴BC⊥面ACP，又BC?面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．

點評 本題考查了線面平行的判定，面面垂直的判定，屬于中檔題．